Droites, parabole et lieu géométrique

Dans cette activité, on construira un fichier de géométrie dynamique afin de conjecturer plusieurs résultats que l'on démontrera. L'activité est organisée en 3 parties.

Situation : dans un repère orthonormé du plan, on se donne la parabole  \(P\)  d'équation \(y=2x^2-x+1\) et la famille de droites  \(D_p\)  d'équations \(y=3x+p\) où \(p\) est un réel (à chaque valeur de \(p\) , correspond une droite).

Partie A - Construction avec Geogebra et conjecture

1. Lancer GeoGebra. Afficher la parabole \(P\) , de telle sorte que l'on puisse voir son sommet.
2. Créer un curseur pour le paramètre  \(p\) (on choisira de faire varier  \(p\) entre -5 et 10 avec un pas de \(0,1\) ). Afficher la droite \(D_p\) .
3. En faisant varier les valeurs de \(p\) avec le curseur, énoncer une conjecture sur les valeurs de  \(p\) pour lesquelles la parabole  \(P\) et la droite  \(D_p\) ont deux points d'intersection, un point d'intersection, aucun point d'intersection.

Partie B - Des cas particuliers et démonstration

1. Fixer la valeur de  \(p\) à 1. Calculer les valeurs exactes des coordonnées des points d'intersection de la parabole et de la droite.
2. Recommencer avec \(p=-2\) .
3. Cas général. Quel que soit la valeur de \(p\) : 
    a. Écrire le système d'équations que doivent vérifier les coordonnées des points d'intersection
        éventuels de la parabole  \(P\)  et la droite \(D_p\) .
     b. Déterminer les valeurs de  \(p\) pour lesquelles la parabole et la droite ont deux points      d'intersection, un point d'intersection, aucun point d'intersection.

Partie C - Recherche d'un lieu géométrique 

Lorsque la parabole \(P\)  et la droite \(D_p\) ont deux points d'intersection, on appelle  \(\text I_p\) le milieu du segment ayant pour extrémités les deux points d'intersection.
La suite du problème a pour but de déterminer le lieu géométrique des points  \(\text I_p\) , c'est-à-dire l'ensemble de tous les points  \(\text I_p\) obtenus lorsque  \(p\) prend toutes les valeurs possibles (celles qui font que la parabole et la droite se coupent en deux points). On nomme  \(E\) l'ensemble des points \(\text I_p\) .

1. Conjecture

Sur GeoGebra, construire le point  \(\text I_p\)  (on le nommera \(\text I\)  sur le graphique). En cliquant droit sur le point \(\text I\) , activer la trace de ce point, puis faire varier la valeur de  \(p\) avec le curseur.
Quelle conjecture peut-on formuler sur le lieu géométrique du point  \(\text I\) ? On énoncera la conjecture le plus précisément possible.
On nommera  \(\Delta\) l'ensemble de points conjecturés (on n'a pas encore prouvé que  \(\Delta\) est le lieu  \(E\) recherché).

2. Démonstration

Il faut démontrer que le lieu  \(E\) recherché est l'ensemble  \(\Delta\) conjecturé. Pour cela, on procède en deux étapes : on démontre d'abord que \(E\subset\Delta\) , c'est-à-dire que tout point de  \(E\) appartient à \(\Delta\)  ; puis que \(\Delta\subset E\) , c'est-à-dire que, réciproquement, tout point de  \(\Delta\) appartient à \(E\) .

• Étape 1 : tout point de  \(E\) appartient à \(\Delta\) .
  Soit \(I_p\) un point quelconque de \(E\) . Calculer, en fonction de \(p\) , les abscisses des deux points d'intersection de la parabole et de la droite. En déduire l'abscisse puis l'ordonnée du point \(I_p\) . Démontrer alors que \(I_p\in\Delta\) .
  On a ainsi démontré que tout point appartenant à  \(E\) appartient bien à  \(\Delta\) , c'est-à-dire que   \(E\subset\Delta\) . 
  
• Étape 2 (réciproque) : tout point de  \(\Delta\) appartient à \(E\) .
  Soit un point  \(J\) quelconque de \(\Delta\) . Que peut-on dire de ses coordonnées \(x_J\)  et  \(y_J\) ? Montrer qu'il existe une droite  \(D_p\) qui passe par \(J\)  (pour cela, on déterminera la valeur de  \(p\) pour laquelle la droite  \(D_p\) passe par le point  \(J\) ).
  Expliquer pourquoi  \(J\) est le milieu des points d'intersection de  \(P\)  et  \(D_p\) . 
  On a ainsi démontré que \(J\in E\) , et donc que tout point appartenant à  \(\Delta\) appartient bien à \(E\) , c'est-à-dire que  \(\Delta\subset E\) . 
  
• Rédiger une conclusion.